¿Qué es Geometría Fractal?

“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

BREVE DEFINICION.

Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inaugura una nueva zona o región de lo real.

Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inical; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial... y así sucesivamente. A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamiento; por ejemplo desplazar el punto X centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz. Se perfila, progresiva y sorprendentemente el dibujo de la hoja de helecho (véase la figura de arriba) mientras el ordenador hace esta tarea menos ardua en pantalla y en décimas de segundo.

BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL.

Si Mandelbrot representa el enfoque moderno de la matemática y es considerado padre de la geometría fractal debemos remontarnos a 1935 cuando se funda la célebre escuela Bourbaki, organizadora del nuevo pensamiento matemático. Sus miembros fundadores eran: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel y Szolem Mandelbrojt, colaboradores de Nicolas Bourbaki.

Los objetivos fundamentales de Bourbaki eran la reconstrucción del edificio matemático sobre bases axiomáticas. Sus trabajos cristalizaron en la redacción de una enciclopedia, “Éléments de Mathematique”.

En 1945, Szolem recomienda a su sobrino Benoît la lectura de un escrito de 300 páginas de Gaston Julia (1893-1978) titulado “Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles”, precursor de la moderna teoría de sistemas dinámicos. Y, de acuerdo con las ideas de la escuela de la que formaba parte, añadió: “Olvida la geometría”.

El discípulo Mandelbrot no se interesó mucho por la lectura recomendada por su maestro, bien por la clase de problemas planteados por su tío acerca de aquella, o porque Benoît enfocaba las Matemáticas desde un punto de vista muy diferente. Adicionalmente, hizo caso omiso de la recomendación acerca de la geometría. Por otra parte, Benoît recobró interés por la publicación mencionada en 1970. Con ayuda de las facilidades computacionales puestas a su disposición por IBM a partir de 1957 en el centro de investigación Thomas J. Watson, contribuyó a crear las ilustraciones de su ensayo de 1975. Y, curiosamente, en 1980, con ayuda de un ordenador VAX, pantalla Tektronix y hardcopy Versatac, sorprendió a la comunidad científica con el primer dibujo detallado de un gráfico deducido de la evolución del sistema dinámico en el campo complejo. Barnsley descubre esta dinámica en 1985 sin usar números complejos recurriendo a la aleatoriedad del juego del caos.

"Tras milenios de ser usadas para descubrir leyes que gobiernan sobre una naturaleza fundamentalmente pasiva, las matemáticas descubren los atractores o focos activos internos de cada sistema físico. En vez de limitarse a despejar incógnitas en sistemas lineales idealizados, emplean una técnica iterativa donde las funciones se realimentan por el procedimiento de volver sobre ellas mismas."

QUIENES CONTRIBUYERON AL DESARROLLO DE LA GEOMETRIA FRACTAL.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897)
Definió la primera curva continua no diferenciable.






Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Estableció una sucesión de segmentos conocida como "polvo de Cantor".






Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918)
Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos.






Giuseppe Peano (1858-1932)
Diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano.






Waclaw Sierpinski (1882-1969)
Su triángulo es, probablemente, el fractal más conocido.






Niels Fabian Helge von Koch (1815-1897)
Su aportación más famosa se la conoce como "Copo de nieve".






Gaston Maurice Julia (1893-1978)
Estudió por primera vez la iteración de funciones racionales.







Benoit Mandelbrot (1924- )
El gran impulsor de la matemática fractal, ayudado por las computadoras. Acuñó el nombre de fractal y a él se le atribuye también el nombre de geometría fractal.