La Trompeta de Gabriel

La Trompeta de Gabriel, el Cuerno de Gabriel o también llamado Trompeta de Torricelli, es una figura ideada por Evangelista Torricelli.

Torricelli, además de ser célebre por su diversidad de descubrimientos, entre ellos el barómetro, realizó un descubrimiento de un sólido infinitamente largo llamado hoy día la trompeta de Gabriel, que se caracteriza por tener una superficie infinita pero que encierra un volumen finito. Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso por el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito en la que intervino el filósofo Thomas Hobbes.
La trompeta de Gabriel se forma utilizando la gráfica de , con el rango (para evitar la asíntota en x = 0), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X.

Su descubrimiento es anterior al cálculo, pero es fácil de verificar integrando y . Si se considera la parte del cuerno entre x = 1 y x = a, el área de la superficie es más que 2πln(a) y el volumen es . Cuando a aumenta, el área no está acotada, mientras que el volumen tiene una cota superior de π.

Como mencioné anteriormente, en el momento de su descubrimiento fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie. La solución de la paradoja es que la afirmación de que un área infinita requiere una cantidad finita de pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior de la trompeta, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.