Números y Series de Kaprekar

Las series y la constante de Kaprekar son números generados cuando aplicamos la rutina de Kaprekar a un número (no números en los que se repiten los dígitos 3 o 4 veces, o que contengan ceros).

Muy bien, la frase anterior deja muchas cosas sin contestar. :)

Tome cualquier número. Ahora ordene los dígitos de este número en orden ascendente o descendente. Substraiga estos dos números. Siga repitiendo estos pasos. ¡Esta aplicando la rutina de Kaprekar ahora en el número original!

En la algoritmo iterativo, se alcanzará o -

1. 0 (un caso degenerado - no escoger números simples, lo hizo?),
2. un número constante (Constante de Kaprekar),
3. un ciclo de números (Serie de Kaprekar).

Éstos (no, no el cero) es la Serie de números de Kaprekar.

Si hubiese probado con un número de 4 dígitos, usted alcanzaría 6174 y para los números de 3 dígitos alcanzaría 495.

Simplemente considere un número de 4 dígitos, hmmm... permítase decir 7691. Ahora ordene los dígitos en orden ascendente y en orden descendente: eso nos da 9761 y 1679. Ahora reste los dos números - qué nos da 8082. Ahora repita este procedimiento y mire lo que sucede...

7691:
9761
-1679
-------
8082

8082:
8820
-0288
-------
8532

8532:
8532
-2358
-------
6174

6174:
7641
-1467
-------
6174

6174:
7641
-1467
-------
6174

Como se observa se repite el 6174, una vez se alcance aquel número. ¡La parte divertida es que todo número de cuatro dígitos, excepto 9 de ellos (no awards for guessing that right!), llevan a este mismo número! El número de pasos exigidos para alcanzar el número podría ser diferente, pero más pronto o más tarde siempre se llegará a 6174.

Se puede probar esto con números más grandes o más pequeños. Para los números de tres dígitos el número que se repite es 495.

La serie de pasos anterior, se llama la Rutina de Kaprekar.

¿Esto es igual que el Número de Kaprekar...?

No, el Número de Kaprekar es diferente que la Serie de Kaprekar. Veamos esto con un ejemplo - 703 es un número de Kaprekar. ¿Por qué?

703² = 494 209
Separemos en dos partes
494 + 209 = 703!!!

Así, simplemente el cuadrado del número, dividalo por la mitad (deje la parte más grande al lado derecho) y sume las dos mitades - asi usted vuelve al número original, entonces es un Número de Kaprekar.

El segundo número puede comenzar por cero, pero debe ser positivo. Un ejemplo es 4879, ya que 4879²=23804641 y se descompone en 238 y 04641. Por esta razón, el número 100 no es un número de Kaprekar, ya que 100²=10000 y se descompone en 100 + 00, pero el segundo sumando no es positivo.

Matemáticamente, sea X un entero no negativo. X es un número de Kaprekar para la base b si existen n números enteros no negativos, A y B, que satisfagan las siguientes condiciones:

0 < B < bⁿ

X² = Abⁿ + B

X = A + B

Los primeros Números de Kaprekar son: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 4879, 17344, 538461,...

Además, no solo eso, sino que se puede demostrar que todos los números formados por nueves (9, 99, 999, 9999...), entre muchos otros son números de Kaprekar.

Número de Series

No se puede ver como una sorpresa, que el número de series de Kaprekar, aumente con el número de dígitos en los números de que se está tratando. Por ejemplo, para todos los números de 4 dígitos se genera sólo una serie (excluyendo el caso degenerado de 0) - 6174 - de tamaño 1; mientras los números de 5 dígitos pudieran terminar en tres series de tamaño 2 y dos de tamaño 4.

Las series y los números de Kaprekar se denominaron en honor de Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905- 1986) fue un matemático indio, cuyo nombre es asociado con una serie de conceptos en la teoría de números. Kaprekar descubrió muchas propiedades interesantes en la teoría de números recreacional. Publicó artículos activamente, escribiendo sobre temas como decimales con patrones recurrentes, cuadrados mágicos y números con propiedades especiales.