Números y Series de Kaprekar

Las series y la constante de Kaprekar son números generados cuando aplicamos la rutina de Kaprekar a un número (no números en los que se repiten los dígitos 3 o 4 veces, o que contengan ceros).

Muy bien, la frase anterior deja muchas cosas sin contestar. :)

Tome cualquier número. Ahora ordene los dígitos de este número en orden ascendente o descendente. Substraiga estos dos números. Siga repitiendo estos pasos. ¡Esta aplicando la rutina de Kaprekar ahora en el número original!

En la algoritmo iterativo, se alcanzará o -

1. 0 (un caso degenerado - no escoger números simples, lo hizo?),
2. un número constante (Constante de Kaprekar),
3. un ciclo de números (Serie de Kaprekar).

Éstos (no, no el cero) es la Serie de números de Kaprekar.

Si hubiese probado con un número de 4 dígitos, usted alcanzaría 6174 y para los números de 3 dígitos alcanzaría 495.

Simplemente considere un número de 4 dígitos, hmmm... permítase decir 7691. Ahora ordene los dígitos en orden ascendente y en orden descendente: eso nos da 9761 y 1679. Ahora reste los dos números - qué nos da 8082. Ahora repita este procedimiento y mire lo que sucede...

7691:
9761
-1679
-------
8082

8082:
8820
-0288
-------
8532

8532:
8532
-2358
-------
6174

6174:
7641
-1467
-------
6174

6174:
7641
-1467
-------
6174

Como se observa se repite el 6174, una vez se alcance aquel número. ¡La parte divertida es que todo número de cuatro dígitos, excepto 9 de ellos (no awards for guessing that right!), llevan a este mismo número! El número de pasos exigidos para alcanzar el número podría ser diferente, pero más pronto o más tarde siempre se llegará a 6174.

Se puede probar esto con números más grandes o más pequeños. Para los números de tres dígitos el número que se repite es 495.

La serie de pasos anterior, se llama la Rutina de Kaprekar.

¿Esto es igual que el Número de Kaprekar...?

No, el Número de Kaprekar es diferente que la Serie de Kaprekar. Veamos esto con un ejemplo - 703 es un número de Kaprekar. ¿Por qué?

703² = 494 209
Separemos en dos partes
494 + 209 = 703!!!

Así, simplemente el cuadrado del número, dividalo por la mitad (deje la parte más grande al lado derecho) y sume las dos mitades - asi usted vuelve al número original, entonces es un Número de Kaprekar.

El segundo número puede comenzar por cero, pero debe ser positivo. Un ejemplo es 4879, ya que 4879²=23804641 y se descompone en 238 y 04641. Por esta razón, el número 100 no es un número de Kaprekar, ya que 100²=10000 y se descompone en 100 + 00, pero el segundo sumando no es positivo.

Matemáticamente, sea X un entero no negativo. X es un número de Kaprekar para la base b si existen n números enteros no negativos, A y B, que satisfagan las siguientes condiciones:

0 < B < bⁿ

X² = Abⁿ + B

X = A + B

Los primeros Números de Kaprekar son: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 4879, 17344, 538461,...

Además, no solo eso, sino que se puede demostrar que todos los números formados por nueves (9, 99, 999, 9999...), entre muchos otros son números de Kaprekar.

Número de Series

No se puede ver como una sorpresa, que el número de series de Kaprekar, aumente con el número de dígitos en los números de que se está tratando. Por ejemplo, para todos los números de 4 dígitos se genera sólo una serie (excluyendo el caso degenerado de 0) - 6174 - de tamaño 1; mientras los números de 5 dígitos pudieran terminar en tres series de tamaño 2 y dos de tamaño 4.

Las series y los números de Kaprekar se denominaron en honor de Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905- 1986) fue un matemático indio, cuyo nombre es asociado con una serie de conceptos en la teoría de números. Kaprekar descubrió muchas propiedades interesantes en la teoría de números recreacional. Publicó artículos activamente, escribiendo sobre temas como decimales con patrones recurrentes, cuadrados mágicos y números con propiedades especiales.

Más acerca del diablo de los números

Desde la primera noche el diablillo nos habla de las sutilezas del número uno. Con él podemos llegar a hacer números infinitamente grandes y con los quebrados hacer números infinitamente pequeños. También muestra cómo con el dígito uno se forman los otros números.

......En la segunda noche, desde un bosque de setas, el diablo de los números nos demuestra el gran invento del cero. A través de un repaso por las cifras realizadas con números romanos, vemos las ventajas que ofrece el sistema decimal y los números combinados con el cero. Además con él podemos formar las decenas, centenas y millares.

......Ya en la tercera noche, Roberto empieza a desear la aparición del diablo y a interesarse por la magia de los números. Parece contestar gustoso los retos que éste le pone. Así dentro de una cueva aparecen los números primos, la división y continua con el cero y lo que sucede cuando dividimos con él.

......En el cuarto sueño llegamos al tema del infinito, las potencias y la raíz cuadrada. Aunque los conceptos se ofrecen manejando cantidades pequeñas, se explica gráficamente el principio y con ello se abre la posibilidad de comprenderlos mejor.

......En el quinto sueño, desde lo alto de una palmera llena de cocos, nos habla de los números triangulares y las diferentes combinaciones que se pueden hacer con ellos.

......El diablito en la sexta noche nos presenta a Bonatschi (Leonardo de Pisa Fibonacci), al que llama su amigo, y la serie de números que llevan su nombre. Con éstos explica las reglas que el sabio matemático encontró y que serán muy útiles para entender la multiplicación exponencial. Para explicar el concepto utiliza una pareja de liebres, que se multiplican incesantemente hasta sumergir al afligido Roberto en un mar de orejas, convirtiendo su sueño en una pesadilla, de la cual, afortunadamente, logra sacarlo el diablo de los números.

......En la séptima noche, aprendemos cómo se construye el triángulo numérico (triángulo de Pascal), y como podemos encontrar relaciones entre los números, lo que resulta casi tan bueno como tener una calculadora. El diablo también juega con diversas opciones del triángulo; por ejemplo, eliminar los múltiplos de 5 y entonces surgen curiosos dibujos y combinaciones en éste.

......En la octava noche, jugando con nombres y lugares que ocupan los compañeros de escuela de Roberto, el diablo le muestra la ley de las probabilidades y la ley de la permutación.

......El sueño nueve muestra organizados en series: los números pares e impares, los números primos, números de Bonatschi y los triangulares y los números saltarines (potencias). Inicia con los principios básicos de los quebrados y así vemos en que consisten las mitades, los cuartos, los octavos, etcétera.

......En el sueño diez, nuevamente con los números de Bonatschi forma figuras geométricas, pirámides y prismas.

......Un importante capítulo es el sueño once, que trata sobre los principios más sencillos para probar algo y las dificultades que hay para realmente, “probar que se ha probado algo”. Y nos muestra los intrincados cálculos elaborados por Bertrand Russell para demostrar que: 1 + 1 = 2.

......En el decimosegundo y último sueño nos describen una gran fiesta a la que asiste Roberto, invitado por Teplotaxl (ahí se nos revela el nombre del diablo de los números), y donde conoce a grades matemáticos como el ya mencionado Lord Russell, a Euler, a Gauss y a Pitágoras, entre otros.

......Nos hablan del chino descubridor del cero y al más grande de los matemáticos (de nombre desconocido), el sabio o sabia, puesto que puede tratarse de una mujer, que inventó el uno. También nos hablan del número pi, para poder calcular las dimensiones de todos los círculos, desde la luna hasta el pastel que Roberto se está comiendo.

......En la fiesta había curiosos objetos topológicos, como la Botella de Klein, con la que no sabemos qué está adentro ni qué está afuera. Roberto ve a todos comer tartas (pasteles), porque son redondas y el círculo es la más perfecta de las figuras.

......Un elegante personaje le entrega a Roberto una estrella de 5 puntas, símbolo de “la orden pitagórica de los números de quinta clase”, lo cual lo llena de orgullo aunque tendrá que guardarlo en secreto.

Tomado de Se piensa

El hijo de Stalin y la mierda

"Fue en 1980 cuando pudimos leer por primera vez, en el "Sunday Times" cómo murió Yakov, el hijo de Stalin. Preso en un campo de concentración alemán durante la Segunda Guerra Mundial, compartía su alojamiento con oficiales británicos. Tenían el retrete común. El hijo de Stalin lo dejaba sucio. A los británicos no les gustaba ver el retrete embadurnado de mierda, aunque fuera mierda del hijo de quien era entonces el hombre más poderoso del mundo. Se lo echaron en cara y se ofendió. Volvieron a reprochárselo una y otra vez, le obligaron a que limpiase el retrete. Se enfadó, discutió con ellos, se puso a pelear. Finalmente solicitó una audiencia al comandante del campo. Quería que hiciese de juez. Pero aquel engreído alemán se negó a hablar de mierda. El hijo de Stalin fue incapaz de soportar la humillación. Clamando al cielo terribles insultos rusos, echó a correr hacia las alambradas electrificadas que cerraban el campo. Cayó sobre ellas. Su cuerpo, que ya nunca volvería a ensuciar el retrete de los ingleses, quedó colgado de las alambradas.

El hijo de Stalin no tenía una vida fácil. Su padre lo había concebido con una mujer a la que, después, según todos los indicios, asesinó. El joven Stalin era por tanto hijo de Dios (porque su padre era venerado como un Dios) y, al mismo tiempo, réprobo. La gente lo temía por partida doble: podía hacerles daño con su poder (al fin y al cabo era hijo de Stalin) y con su favor (el padre podía castigar a sus amigos en lugar de hacerlo con el hijo réprobo).

Nada más empezar la guerra lo capturaron los alemanes, y otros prisioneros, que pertenecían a una nación que siempre le había sido profundamente antipática por su incomprensible introversión, lo acusaron de ser sucio. ¿Él, que debía soportar el peso del mayor drama imaginable (ser al mismo tiempo hijo de Dios y ángel réprobo), debía ser ahora sometido a juicio, no por cuestiones elevadas (referidas a Dios y a los ángeles), sino por asuntos de mierda? ¿Está entonces el más elevado drama tan vertiginosamente próximo al más bajo?

Si la reprobación y el privilegio son lo mismo, si no hay diferencia entre la elevación y la bajeza, si el hijo de Dios puede ser juzgado por cuestiones de mierda, la existencia humana pierde sus dimensiones y se vuelve insoportablemente leve. En ese momento el hijo de Stalin echa a correr hacia los alambres electrificados para lanzar sobre ellos su cuerpo como sobre el platillo de una balanza que cuelga lamentablemente en lo alto, elevado por la infinita levedad de un mundo que ha perdido sus dimensiones.

El hijo de Stalin dio su vida por la mierda. Pero morir por la mierda no es una muerte sin sentido. Los alemanes, que sacrificaban sus vidas por extender el imperio hacia oriente, los rusos, que morían para que el poder de su patria llegase más lejos hacia occidente, ésos sí, ésos morían por una tontería y su muerte carece de sentido y de validez en general. Por el contrario, la muerte del hijo de Stalin fue, en medio de la estupidez generalizada de la guerra, fue la única muerte metafísica".

Leído en http://pura-coincidencia.blogspot.com/
Del libro La insoportable levedad del ser, de Milan Kundera

Karl von Terzaghi - Padre de la Mecánica de Suelos

Karl von Terzaghi, (Praga, 2 de octubre de 1883 - † Winchester, Massachusetts (Estados Unidos), 25 de octubre de 1963). Ingeniero reconocido como el padre de la mecánica de suelos y de la ingeniería geotécnica.

Su vocación se reveló trabajando en Estambul (entonces Constantinopla), donde experimentó sus intuiciones sobre el comportamiento del suelo con métodos rudimentarios (hacía ensayos de compresión aprovechando cajas de cigarrillos). Desde el comienzo de su carrera dedicó todos sus esfuerzos a buscar un método racional para resolver los problemas relacionados con la ingeniería de suelos y las cimentaciones.

Esquema y fórmula sobre la capacidad portante de un suelo

Con cierta fama adquirida, marchó a Estados Unidos en 1918, donde produjo su monumental obra Erdbaumechanik, considerada hoy como el punto de partida de la mecánica de suelos. De 1925 a 1929 trabajó en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, donde inició el primer programa estadounidense sobre mecánica de suelos, y consiguió que esta ciencia se convirtiese en una materia importante en la Ingeniería Civil. Consolidada su fama, regresó a Europa y aceptó en 1929 la cátedra que le ofrecieron en el Vienna Technische Hochshule.

En 1938 pasó a la Universidad de Harvard donde desarrolló y expuso su curso sobre geología aplicada a la ingeniería, retirándose como profesor en 1953 a la edad de 70 años. Se nacionalizó estadounidense en 1943.

Su libro Soil Mechanics in Engineering Practice, escrito en colaboración con Ralph B. Peck, es de consulta obligada para los profesionales de la ingeniería geotécnica. Está considerado entre los mejores ingenieros civiles del siglo XX.

Terzaghi fue el primero en abordar numéricamente datos sobre el comportamiento de los suelos, ejemplificados en su famosa fórmula sobre la capacidad portante de un terreno.