Monstruos matemáticos

A finales del siglo pasado, el matemático Charles Hermite tildaba de "plaga lamentable", la fascinación que algunos matemáticos sentían por determinadas curvas que desafiaban los cimientos de la geometría de la época. Muchos como él consideraban patológicas aquel tipo de curvas y se desentendían de sus insólitas propiedades. Uno de aquellos primeros monstruos geométricos era el denominado conjunto de Cantor. Su definición es muy sencilla: se toma un segmento de determinada longitud (por ejemplo el intervalo [0, 1] de la recta real) y se divide en tres subsegmentos de igual longitud, se suprime el segmento central y el proceso se repite con los dos nuevos segmentos resultantes. El resultado de iterar este proceso infinitas veces es el conjunto de Cantor.

Ahora bien, ¿tiene elementos el conjunto de Cantor? Un espectador infinitesimal que contemplase la iteración anterior durante una eternidad, ¿no terminaría por ver desaparecer la totalidad de los puntos? Puede demostrarse que no, pero el consolidado sistema de medidas de la época (medida Lebesgue) daba para dicho conjunto longitud nula. Tarde o temprano se tuvo que aceptar que aquel sistema de medidas era insuficiente.

En 1890, Peano ideó otro de tales monstruos: una curva que rellenaba el plano ¿Cómo podía una región cuadrada del plano ser una curva? Años más tarde, Hilbert ideó una curva con idéntica propiedad pero de más sencilla elaboración.

Otro ejemplo lo constituye la curva ideada por el matemático sueco Helge von Koch en 1904. Un segmento se divide en tres partes iguales, sustituyendo la central por los dos segmentos que junto a dicha parte formarían un triángulo equilátero. El proceso se repite ad infinitum con los cuatro segmentos resultantes. La curva de Koch oculta otra característica sorprendente: un perímetro infinito aloja un área finita.

Todas estas formas que se retuercen sobre sí mismas terminaron por revolucionar muchos de los conceptos dados por válidos hasta el siglo pasado y desembocaron en la denominada teoría geométrica de la medida, desarrollada en las primeras décadas de nuestro siglo. Uno de los aspectos más relevantes surgidos de esta teoría es la redefinición del concepto de dimensión a cargo de Hausdorff, que permite que estas curvas tengan dimensión fraccionaria. Así la curva de Koch tiene una dimensión de Hausdorff de 1,2618 lo cual indica que está más cerca de ser una recta (dimensión 1) que un área (dimensión 2). La curva de Hilbert, por tanto, tiene una dimensión de Hausdorff de 2. Los trabajos de Haussdorf fueron continuados durante la década de los años 20 por Besicovitch y derivaron en la teoría geométrica de la medida.

Hoy en día todas las curvas anteriores se incluyen dentro de una clase más amplia de objetos matemáticos denominados fractales. El término fue acuñado por Benoit Mandelbrot (descubridor de uno de los más bellos y complejos conjuntos matemáticos, que lleva su nombre) hace apenas veinte años como un neologismo derivado de la palabra latina fractus (Aunque Madelbrot definió el sustantivo fractal con genero femenino, son raras las referencias en castellano que se refieren a las fractales y gran mayoría las que lo hacen a los fractales). Queda aún por establecer una definición exacta y definitiva del término. Sin embargo, de algo no hay duda: las curvas descritas anteriormente son genuinamente fractales.